Matemática básica Ejemplos

$1000 = \frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$ .

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ .

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ .

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Paso 3.1.1.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.1.1.1

Cancela el factor común de $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ .

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Paso 3.1.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1.1.2.1

Divide $0.1$ por $12$ .

${(1 + 0.008\overline{3})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.1.2.2

Suma $1$ y $0.008\overline{3}$ .

${1.008\overline{3}}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.1.2.3

Eleva $1.008\overline{3}$ a la potencia de $12$ .

$1.10471306 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.2.1

Divide $0.1$ por $12$ .

$1.10471306 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.2.2

Suma $1$ y $0.008\overline{3}$ .

$1.10471306 (1 - {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1.10471306 \cdot 1 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.3.2

Multiplica.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Multiplica $1.10471306$ por $1$ .

$1.10471306 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Divide $0.1$ por $12$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12})$

Paso 3.2.1.1.2

Suma $1$ y $0.008\overline{3}$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {1.008\overline{3}}^{12})$

Paso 3.2.1.1.3

Eleva $1.008\overline{3}$ a la potencia de $12$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1 \cdot 1.10471306)$

Paso 3.2.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $1.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1.10471306)$

Paso 3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.2.1

Resta $1.10471306$ de $1$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 \cdot - 0.10471306$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $1000$ por $- 0.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744$

Paso 4

Resuelve $t$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $t$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $1.10471306$ de ambos lados de la ecuación.

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744 - 1.10471306$

Paso 4.1.2

Resta $1.10471306$ de $- 104.71306744$ .

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$

Paso 4.2

Divide cada término en $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ por $- 1.10471306$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ por $- 1.10471306$ .

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 1.10471306$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide ${1.008\overline{3}}^{12 t}$ por $1$ .

${1.008\overline{3}}^{12 t} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $- 105.8177805$ por $- 1.10471306$ .

${1.008\overline{3}}^{12 t} = 95.7875702$

Paso 4.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t}) = \ln (95.7875702)$

Paso 4.4

Expande $\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t})$ ; para ello, mueve $12 t$ fuera del logaritmo.

$12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$

Paso 4.5

Divide cada término en $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ por $12 \ln (1.008\overline{3})$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ por $12 \ln (1.008\overline{3})$ .

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Paso 4.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común de $\ln (1.008\overline{3})$ .

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Paso 4.5.2.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Forma decimal:

$t = 45.81115524 \dots$